Задача № 345

Дана задача выпуклого программирования. Требуется:

1) найти решение графическим методом

2) написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

Решение.

Графическое решение задачи следующее:

Система неравенств определяет область, ограниченную двумя прямыми и координатными осями. График целевой функции представляет собой окружность переменного радиуса с центром в точке (5 , 10). Значение целевой функции графически представляет собой квадрат радиуса этой окружности. Минимальным радиусом, удовлетворяющим системе ограничений, будет такой радиус, который обеспечивает касание окружности с границей области так, как это показано на рисунке.

Искомая точка определяется как решение системы уравнений

Получаем точку (3 , 8), значение целевой функции в этой точке равно 8.

Теперь запишем задачу в традиционном виде:

Функция называется функцией Лагранжа, а переменные - коэффициентами Лагранжа.

Точка называется Седловой точкой функции Лагранжа, если для любых выполняются неравенства:

Если функции дифференцируемы, то условия определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера):

В нашем случае получаем:

Подставим в эти выражения значения :

Получаем

Седловая точка функции Лагранжа: .

Проверим условия cедловой точки:

Условия выполнены, седловая точка .