1. Исследовать сходимость числовых рядов

1)

Ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости:

2)

Воспользуемся предельным признаком сравнения со сходящимся рядом Дирихле :

, значит ряд сходится.

3)

Воспользуемся признаком Даламбера:

- ряд сходится

4)

Воспользуемся интегральным признаком.

Несобственный интеграл расходится. Значит и ряд расходится.

5)

Условия признака Лейбница выполнены:

Значит, ряд сходится.

Для определения характера сходимости исследуем ряд: .

Как известно, ряд Дирихле сходится при .

Значит, ряд сходится абсолютно.

6)

Условия признака Лейбница выполнены:

Исследуем на сходимость ряд

Применим радикальный признак Коши:

ряд сходится

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

2. Найти интервал сходимости степенного ряда и

исследовать его сходимость на границах интервала сходимости.

Для определения радиуса сходимости применим признак Даламбера:

Таким образом, интервал сходимости

Исследуем сходимость на границах интервала:

x = : - расходящийся ряд (не выполнено необходимое условие сходимости)

х = : - расходящийся ряд (не выполнено необходимое условие сходимости)

Таким образом, ряд сходится на интервале

3. Разложить в степенной ряд (ряд Маклорена) функцию

и найти интервал сходимости полученного ряда.

Ряд Маклорена имеет вид

Сделаем замену переменной:

Используя стандартное разложение, получаем:

Итого:

Для определения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

На границах интервала х = -9: - расходящийся гармонический ряд

x = 9: условия признака Лейбница выполнены – ряд сходится условно.

Окончательно, интервал сходимости ряда