|
C6. а) Первое решение. Разделим сундуки на три
пары. Общее количество монет в каждой паре сундуков чётно, поэтому чётно
и число монет во всех шести сундуках. Теперь разделим сундуки на две
тройки. Число монет в каждой тройке кратно трём, поэтому кратно трём и
общее число монет во всех сундуках. Итак, это общее число монет делится
на 2 и 3, а значит, и на 6 (так как 2 и 3 взаимно просты).
Следовательно, все монеты можно разложить поровну по 6 сундукам.
Второе решение. Для начала заметим, что число монет во всех сундуках
имеет одинаковую чётность. Ведь поделить поровну содержимое двух
сундуков с разной чётностью монет нельзя.
Затем обратим внимание на то, что общее количество монет в первых трёх
сундуках кратно трём. Если заменить сундук 3 на сундук 4, то делимость
на 3 не нарушится. Это означает, что число монет в четвёртом сундуке
даёт тот же остаток при делении на 3, что и в третьем. Таким же образом
про любые два сундука можно доказать, что число монет в одном даёт тот
же остаток при делении на 3, что и в другом. Поэтому остатки от деления
всех этих чисел на 3 одинаковы.
Если числа дают одинаковые остатки при делении как на 2, так и на 3, то
их разность делится на 2 и на 3, то есть делится и на 6. Это означает,
что у любых двух (а значит, и у всех шести) чисел остатки при делении на
6 равны между собой. Сумма шести таких чисел будет кратна 6. Поэтому все
монеты можно разложить поровну по всем сундукам.
б) Рассуждая так же, как в пункте а), можно доказать, что все восемь
чисел, соответствующие количествам монет в сундуках, дают одинаковые
остатки при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значит, эти числа дают
одинаковые остатки при делении на 420 (420 - это наименьшее общее
кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и7). Но поскольку 420 не кратно 8, эти числа
могут иметь различные остатки при делении на 8, что помешает поровну
разложить монеты по восьми сундукам.
Например, в первом сундуке могла быть 421 монета, а в остальных семи -
по одной. Тогда в двух сундуках в сумме либо 2, либо 422 монеты, оба
числа чётные. В трёх сундуках в сумме либо 3, либо 423 монеты, каждое из
этих чисел делится на 3 и т.д. В семи сундуках в сумме 7 или 427 монет.
Оба числа делятся на 7. Однако общее число монет 428 на 8 не делится. То
есть в этом случае на восемь сундуков разложить монеты поровну не
получится.
С другой стороны, во всех сундуках изначально могло храниться, например,
поровну монет. Поэтому точно ответить на вопрос, не зная, что лежит в
сундуках, нельзя.
Ответ: а) можно; б) нельзя.
Источник: problems.ru
|
